Fondamenti della meccanica atomica
Che poi negli atomi siano sempre contenuti degli elettroni, della stessa specie di quelli che si osservano liberi, è provato da molti fatti che
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delle formule per la rotazione degli assi coordinati: tali coefficienti sono, come è noto,
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Se poi vi sono, oltre agli autovalori continui, anche degli autovalori discreti λn, vale anche la seguente proprietà di ortogonalità tra le
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, nella teoria degli errori, l'errore quadratico medio):
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che è la nota curva gaussiana degli errori col centro in .
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tale veduta è confermata da diverse altre circostanze. Una di queste è l'esistenza degli isotopi.
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(dove il segno indica che si tratta degli ordini di grandezza).
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e lo stesso numero di elettroni planetari, ma differiscono per la massa del nucleo. Poichè il moto degli elettroni è determinato dalle forze
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(1) Si noti che qui il linguaggio della teoria degli errori viene applicato ad un tipo di indeterminazione di origine del tutto diversa da quella
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cioè indicando con e le «precisioni» (1) Si noti che qui il linguaggio della teoria degli errori viene applicato ad un tipo di indeterminazione di
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e ricavando dalla (259), si trova infine che, se E è negativo, esso deve avere uno degli autovalori
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Occupiamoci anzitutto degli integrali rispetto a . Il primo di essi, sostituendovi le espressioni di e conformi alla (229') diviene
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Tenendo poi presente che ognuna delle funzioni , si scinde nel prodotto di tre fattori , si vede che ognuno degli integrali tripli (287) si scinde
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e si riconosce che: il momento magnetico dovuto al moto orbitale degli elettroni è sempre un multiplo intero di
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cioè in funzione degli integrali di fase Ji (che sostituiscono le f costanti di integrazione ). Si può poi dimostrare che le derivate parziali di
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Lo spettro emesso consta quindi di infinite righe, equidistanti (nella scala delle frequenze). Tale risultato è assai importante per la teoria degli
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e si osserva che il primo vettore deve essere la risultante degli altri due, si ha subito, dal triangolo OBC, per il teorema di Carnot,
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Nel seguito ci occuperemo solo degli operatori lineari(o. l.) cioè di quelli che godono le due proprietà seguenti:
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La classe degli operatori lineari gode delle proprietà di alto interesse matematico (v. bibl. n. 33): noi ci limiteremo qui alle nozioni essenziali
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Difatti, detti al solito i versori degli assi (autofunzioni di un'equazione differenziale) ogni vettore f si può scrivere nella forma
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Di qui ricaviamo facilmente un'altra proprietà degli operatori hermitiani: per due funzioni qualunque f e g, si ha, se è hermitiano (e solo se è tale):
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corrisponde un valore Ln di L (autovalore) (alcuni degli Ln potendo anche essere uguali tra loro).
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Nel caso degli autovalori continui è importante osservare che se è un'autofunzione di appartenente all'autovalore , e normalizzata (col criterio del
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tempo autofunzioni di e di , cosicchè si possa scrivere (ordinando convenientemente gli indici degli autovalori)
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sostituire alle sommatorie rispetto a un indice degli integrali. P. es., la (10) diviene
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Accenneremo infine al caso in cui l'equazione che definisce le y ha, oltre allo spettro continuo tra a e b, anche degli autovalori discreti. Allora
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(1) Ciò potrebbe giustificarsi direttamente con un passaggio al limite del tutto analogo a quello fatto per il caso degli autovalori multipli
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Naturalmente, se avesse degli autovalori continui G', nella si dovrebbe sostituire l'indice discreto r con la variabile continua G', e si dovrebbe
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(dove indica una somma fatta cambiando x successivamente in y e z). Ora, tenendo presente il significato degli operatori , si vede che
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Si osservi che l'operatore , e quindi anche , è permutabile con ciascuno degli operatori . Difatti si ha, per le (125),
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Se vogliamo legare questa rappresentazione al metodo degli operatori, ricorderemo (v. § 5) che gli elementi di questa matrice si ottengono
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Ciò premesso, vediamo come si imposta col metodo delle matrici la ricerca degli autovalori di un'osservabile G (che, in particolare, può essere
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Quindi nella (162) deve prendersi , e l'espressione degli autovalori dell'energia, diviene
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Da queste formule, mediante la (158), o la (158'), si ricavano le espressioni degli elementi non nulli della matrice , che risultano
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Così, dalla risoluzione dell'equazione secolare (186), si hanno, in prima approssimazione, le perturbazioni degli autovalori del multipletto.
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Quindi la seconda approssimazione degli autovalori del multipletto o del livello multiplo è data da
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(ossia, definirà una rotazione piccolissima degli assi di riferimento), e perciò la scriveremo nella forma
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Determinata così la matrice di trasformazione , ricordiamo che i versori degli assi ruotati si ottengono da quelli degli assi primitivi mediante la
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(l) Per indicazioni bibliografiche più complete e per maggiori particolari su questo argomento e sulla annichilazione degli elettroni, rimandiamo al
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Resta così dimostrato che gli stati a priori possibili per il sistema si dividono in due classi che chiameremo degli stati simmetrici e degli stati
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degli atomi. sono dell'ordine di qualche volt: raramente superano i 20 volt.
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Molte volte i livelli energetici degli atomi si esprimono appunto in cm-1 secondo la (23'): un volt corrisponde a 8107 cm-1.
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Ma supponiamo ora di aumentare il potenziale V, finchè eV sia poco superiore ad E2—E1: allora la forza viva degli elettroni, in vicinanza della
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usate per accelerare gli elettroni (p. es. 40 volt): allora nessuno degli elettroni lanciati dal filamento potrà arrivare alla placca P, perchè saranno
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L'esistenza di urti di seconda specie è dunque una conseguenza termodinamica della esistenza, constatata sperimentalmente, degli urti di prima specie.
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elettroni e per la radiazione, così che non siano possibili scambi di energia con l'esterno. In conseguenza degli urti di prima specie, gli elettroni
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Accenneremo infine al fatto che i metodi di interpretazione degli spettri atomici sono stati estesi con successo agli spettri emessi dalle molecole
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Altre esperienze di diffrazione degli elettroni, sia col metodo analogo a quello di Lane che col metodo analogo a quello di Bragg, sono state poi
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Considerazioni teoriche suggeriscono, come vedremo al § 26, p.II, che la lunghezza d'onda λ dipenda dalla velocità v degli elettroni secondo una
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È da notare però che, salvo casi eccezionali, per questa via non si può praticamente giungere alla determinazione degli autovalori e delle
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Accademia della crusca
